2. 考研
  3. 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。 (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。 (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

admin2019-06-28  101
问题 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。
(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
选项
答案由(I)知曲线的方程为y=[*]一x2，则y’=一2x，点P(x，y)=P(x，[*]一x2)，所以在点P处的切线方程为 Y一([*]一x2)=一2x(X一x)， 分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x2+[*]。 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=[*](4x2+1)2，x＞0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一S0=[*](4x2+1)2一S0， 求最值点时与S0无关，而 S’(x)=[*]， 令S’(x)=0，得x=[*]，S’(x)＞0。 根据极值存在的第一充分条件知，x=[*]是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为 [*]
解析
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考研数学二

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