(1997年试题，三(5))已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

admin2013-12-18 173

问题 (1997年试题，三(5))已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x一e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

选项

答案本题考查线性非齐次方程解的性质，由题设，y₁一y₃=e^-x是对应齐次方程的解，y₁一y₂=e^2x—e^-x也是对应齐次方程的解，从而e^-x+(e^2x一e^-x)也是对应齐次方程的解，因此e^-xe^2x是齐次方程的解，此外,xe^x是非齐次方程的解．由e^-x与e^2x可判断出齐次方程两个特征值[*]，λ₂=2，从而特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ²一λ一2=0，因此齐次方程为y^’’一y^’一2y=0，将xe^x代入该齐次方程，得e^x(1—2x)，综上可知所求非齐次微分方程为y^’’一y^’一2y=e^x(1—2x)

解析对于二阶常系数线性齐次微分方程y^’’+py^’+gy=0，函数Ae^ex是其解的充要条件为λ=α为其特征方程λ²+pλ+q=0的根；函数Ae^axsinβx，βe^axcosβ，或e^αx(Asinβx+Bc0sβx)为其解的充要条件为λ=α±β为其特征方程λ²+pλ+q=0的根．对于本题可先求齐次微分方程的解，再求对应的非齐次微分方程的特解．

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考研数学二

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设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，M=，证明：存在

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是()

(2009年)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值。

(88年)已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，…，βs-1＝αs-1＋αs，βs＝αs＋α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

(92年)设3阶矩阵B≠O，且B的每一列都是以下方程组的解：(1)求λ的值；(2)证明｜B｜＝0．

[2002年](1)验证函数(－∞＜x＜+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

(1996年)累次积分可以写成()

(2012年)设函数f(x)==______。

[2004年]设n阶矩阵求A的特征值和特征向量；

微分方程xy′+2y=xlnx满足的特解为__________，

易于"致病广泛，变化多端"的邪气是易于"病位固定"出现肿块疼痛出血的邪气是

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关于明代申明亭，下列说法错误的是

我国对于集会游行示威自由的管理()(2010年一综一第25题)

发展心理学中的研究大多才用横断研究设计，不过该研究方法有其局限性，包括()

Afewyearsback,manyhospitalsinAmericawereembarrassedbyrevelationsthatsomeoftheirneediestpatients,theuninsured,

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