设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

admin2017-09-15 104

问题设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

选项

答案A所对应的二次型为f＝X^TAX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X＝QY，使得 f＝X^TAX[*]λ₁y₁²＋λ₂y₂²＋…＋λ_ny_n²，其中λ_i＞0(i＝1，2，…，n)，对任意的X≠0，因为X＝QY，所以Y＝Q^TX≠0，于是f＝λ₁y₁²＋λ₂y₂²＋…＋λ_ny_n²＞0，即对任意的X≠0有X^TAX＞0，所以X^TAX为正定二次型，故A为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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[*]
求解下列微分方程：
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设f(x)在区间[-a，a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0证明在[-a，a]上至少存在一点η，使。
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．试求曲线L的方程；
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值．
假设曲线l1：y＝1－x2(0≤x≤1)与x轴，y轴所围成区域被曲线l2：y＝ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．
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