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  3. (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )

(2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )

admin2018-03-11  59
问题 (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上(    )
选项 A、当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 方法一：首先将函数变形为
              g(x)=f(1)一f(0)]x+f(0)，
易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0，f(0))，(1，f(1))，则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线，当f"(x)≥0时，曲线f(x)为凹函数，连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方，故g(x)≥f(x)，故选D。
    方法二：令F(x)=g(x)一f(x)=f(0)(1一x)+f(1)x一f(x)，则F(0)=F(1)=0，且
                 F′(x)=一f(0)+f(1)一f′(x)，F"(x)=一f"(x)。
    若f"(x)≥0，则F"(x)≤0，曲线F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)，故选D。
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考研数学一

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