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设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．
设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．
admin
2016-12-16
85
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
，β
1
线性相关，向量组α
1
，α
2
，α
3
，β
2
线性无关，则对于任意常数k，必有( )．
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也可用排错法判别。
对于任意常数k，证明(A)成立．设
l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
+l
4
(kβ
1
+β
2
)=0
下证l
4
=0．若l
4
≠0，则kβ
1
+β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，由题设知β
1
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，因而β
2
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，这与α
1
，α
2
，α
3
，β
2
线性无关相矛盾，所以l
4
=0，则上述等式可化为l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
=0．
而α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故l
1
=0，l
2
=0，l
3
=0，所以α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．仅(A)正确。
当k=0时，显然(B)、(C)不成立。
当k=1时，(D)不成立．事实上，由题设α
1
，α
2
，α
3
，β
2
线性无关，如果α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+β
2
线性相关，而α
1
，α
2
，α
3
线性无关，β
1
，α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则β
1
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而β
2
不能，于是β
1
+β
2
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，所以(D)不成立，仅(A)入选．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/5BH4777K
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考研数学三
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