2. 考研
  3. 设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝___________。

设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝___________。

admin2019-12-24  73
问题 设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝___________。
选项
答案18
解析 由｜2E＋A｜＝(－1)3｜－2E－A｜＝0，知｜－2E－A｜＝0，故λ＝－2为A的一个特征值。由于A～B，故A，B有相同特征值，因此B的三个特征值为λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝－1，则存在可逆矩阵P，使得P－1BP＝。于是
P－1(E＋2B)P＝E＋2P－1BP＝E＋2＝，
因此｜E＋2B｜＝9，且｜A｜＝λ1λ2λ3＝2。故
｜A＋2AB｜＝｜A(E＋2B)｜＝｜A｜·｜E＋2B｜＝2·9＝18。
本题考查矩阵相似的性质以及矩阵行列式的计算。
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考研数学三

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