2. 考研
  3. (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

(2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2021-01-25  102
问题 (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0πf(t)dt，0≤x≤π 则有F(0)=0，F(π)=0，又因为 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0，π)，使F(e)sins=0，因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与 I F(x)sinxdx=0矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sins≠0，故F(ξ)=0． 由以上证得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π) 再对F(x)在区间[0，ξ，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1)=f(ξ2)=0
解析
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考研数学三

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