若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

admin2020-01-15 76

问题若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

选项

答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．现取n个单位向量 ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T， (i=1，2，…，n) 为A的特征向量，其特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n，那么令P=(ε₁，ε₂，…，ε_n)=E，有 [*] 如果λ₁≠λ₂，则A(ε₁+ε₂) =λ₁ε₁+λ₂ε₂．因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε₁+ε₂)=λ(ε₁+ε₂)，于是 (λ₁－λ)ε₁+(λ₂－λ)ε₂=0．由于Aλ₁－λ，λ₂－λ不全为0，与ε₁，ε₂线性无关相矛盾，所以必有λ₁=λ₂．同理可知λ₁=λ₂=…=λ_n=k，故A=kE．

解析

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考研数学一

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