2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．

admin2019-02-20  49
问题 设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．
选项
答案证明F’(x)＞0(x＞a)．由题设条件，有 [*] 由拉格朗日中值定理知，存在ξ(a＜ξ＜x)使得 [*] 于是 [*] 由f"(x)＞0，可知f’(x)在(a，+∞)内单调增加．因此，对于任何满足a＜ξ＜x的x和ξ，有f’(x)＞f’(ξ)．又x－a＞0，从而由②可知F’(x)＞0，于是F(x)是单调增加的．
解析 要证F(x)在(a，+∞)内单调增加，只需证F’(x)＞0，为此需先求出F’(x)．条件“f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零”隐含着f’(x)在(a，+∞)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明F’(x)＞0．
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考研数学三

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