2. 考研
  3. 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明： 在开区间(a，b)内g(x)≠0；

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明： 在开区间(a，b)内g(x)≠0；

admin2018-12-19  112
问题 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明：
在开区间(a，b)内g(x)≠0；
选项
答案利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则根据题意，对g(x)在[a，c]和[c，b] 上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。 接着再对g’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，这与题设条件g’’(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内g(x)≠0。
解析
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考研数学二

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