2. 考研
  3. 设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

admin2019-09-27  33
问题 设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．
选项
答案∫0xf(t－x)dt=－∫0xf(t－x)d(x－t)[*]－∫x0f(－u)du=∫0xf(u)du， 则有f′(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f′(x)是奇函数，于是f′(0)=0，代入上式得f(0)=1． 将f′(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2两边对x求导得 f″(x)+2f′(x)－3f(x)=－3， 其通解为f(x)=C1ex+C2e－3x+1，将初始条件代入f(x)，得C1=C2=0，所以f(x)=1．
解析
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考研数学一

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