证明：定义在对称区间(-l，l)内的任何函数f(x)，必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式，且这种表示法是唯一的．

admin2022-10-31 52

问题证明：定义在对称区间(-l，l)内的任何函数f(x)，必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式，且这种表示法是唯一的．

选项

答案令H(x)=[*][f(x)+f(-x)]，G(x)=[*]f(x)-f(-x)],则f(x)=H(x)+G(x)，且容易证明H(x)是偶函数，G(x)是奇函数，下证唯一性．若还存在偶函数H_l(x)和奇函数G_l(x)．有f(x)=H_l(x)+G_l(x)．则 H(x)-H_l(x)=G_l(x)-G(x)．用-x代入上式有H(x)-H_l(x)=G(x)-G_l(x)．从而可得H(x)=H_l(x)，G(x)=G_l(x)．

解析

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