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证明:定义在对称区间(-l,l)内的任何函数f(x),必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式,且这种表示法是唯一的.
证明:定义在对称区间(-l,l)内的任何函数f(x),必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式,且这种表示法是唯一的.
admin
2022-10-31
69
问题
证明:定义在对称区间(-l,l)内的任何函数f(x),必可以表示成偶函数H(x)与奇函数G(x)之和的形式,且这种表示法是唯一的.
选项
答案
令H(x)=[*][f(x)+f(-x)],G(x)=[*]f(x)-f(-x)],则f(x)=H(x)+G(x),且容易证明H(x)是偶函数,G(x)是奇函数,下证唯一性. 若还存在偶函数H
l
(x)和奇函数G
l
(x).有f(x)=H
l
(x)+G
l
(x).则 H(x)-H
l
(x)=G
l
(x)-G(x). 用-x代入上式有H(x)-H
l
(x)=G(x)-G
l
(x).从而可得H(x)=H
l
(x),G(x)=G
l
(x).
解析
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考研数学一
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