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设抛物线y=-x2+px+q与x轴有两个交点x=a,=b(a<b),又y=f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,如果曲线y=f(x)与y=-x2+px+q在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=一2.
设抛物线y=-x2+px+q与x轴有两个交点x=a,=b(a<b),又y=f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,如果曲线y=f(x)与y=-x2+px+q在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=一2.
admin
2020-05-02
31
问题
设抛物线y=-x
2
+px+q与x轴有两个交点x=a,=b(a<b),又y=f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,如果曲线y=f(x)与y=-x
2
+px+q在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=一2.
选项
答案
设曲线y=f(x)与y=-x
2
+px+q在(a,b)内的交点为(x
0
,f(x
0
)),则a<x
0
<b,取辅助函数F(x)=f(x)-(-x
2
+px+q).由题设条件知F(x)在[a,b]上也有二阶导数,且F(a)=F(x
0
)=F(b)=0,由罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,x
0
),ξ
2
∈(x
0
,b),使 F′(ξ
1
)=f′(ξ
1
)+2ξ
1
-p=0,F′(ξ
2
)=f′(ξ
2
)+2ξ
2
-p=0 再对F′(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理知,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得F′(ξ)=f"(ξ)+2=0,即f"(ξ)=-2.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/3Rv4777K
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考研数学一
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