2. 考研
  3. 设抛物线y=－x2+px+q与x轴有两个交点x=a，=b(a＜b)，又y=f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，如果曲线y=f(x)与y=－x2+px+q在(a，b)内有一个交点，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=一2．

设抛物线y=－x2+px+q与x轴有两个交点x=a，=b(a＜b)，又y=f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，如果曲线y=f(x)与y=－x2+px+q在(a，b)内有一个交点，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=一2．

admin2020-05-02  27
问题 设抛物线y=－x2+px+q与x轴有两个交点x=a，=b(a＜b)，又y=f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，如果曲线y=f(x)与y=－x2+px+q在(a，b)内有一个交点，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使f(ξ)=一2．
选项
答案设曲线y=f(x)与y=－x2+px+q在(a，b)内的交点为(x0，f(x0))，则a＜x0＜b，取辅助函数F(x)=f(x)－(－x2+px+q)．由题设条件知F(x)在[a，b]上也有二阶导数，且F(a)=F(x0)=F(b)=0，由罗尔定理知，存在ξ1∈(a，x0)，ξ2∈(x0，b)，使 F′(ξ1)=f′(ξ1)+2ξ1－p=0，F′(ξ2)=f′(ξ2)+2ξ2－p=0 再对F′(x)在[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在ξ∈(ξ1，ξ2)，使得F′(ξ)=f"(ξ)+2=0，即f"(ξ)=－2．
解析
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考研数学一

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