设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

admin2016-06-27 225

问题设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

选项

答案旋转体的体积为V=∫₁^tπf²(x)dx=πf₁^tf²(x)dx，曲边梯形的面积为：s=∫₁^tf(x)dx，则由题可知 π∫₁^tf²(x)dx=πt∫₁^tf(x)dx，即∫₁^tf²(x)dx=t∫₁^tf(x)dx．两边对t求导可得f²(t)=∫₁^tf(x)dx+tf(t)，即f²(t)一tf(t)=∫₁^tf(x)dx， (*) 等式两端求导可得2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)，化简可得(2f(t)一t)f’(t)=2f(t)，即[*] 在(*)式中令t=1，则f²(1)一f(1)=0，因为已知f(x)＞0，所以f(1)=1，代入[*] 所以该曲线方程为[*]

解析

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考研数学三

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设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

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