试求下列微分方程在指定形式下的解: (1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解； (2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．

admin2011-11-19 132

问题试求下列微分方程在指定形式下的解:
(1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝e^rx的解；
(2)x²y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝x^λ的解．

选项

答案(1)将y＝e^rx分别求一、二阶导数得yˊ＝r×e^rx，y〞＝r²×e^rx，代人方程y〞＋3yˊ＋2y＝0中，左边＝r²×e^rx＋3r×3e^rx＋2×e^rx＝(r²＋3r＋2)e^rx＝0，r²＋3r＋2＝0，解得r₁＝－1，r₂＝－2，所以，方程形如y＝e^rx的解有：y₁＝e^－x，y₂＝e^－2x． (2)将y＝x^λ分别对x求一、二阶导数得yˊ＝λx^λ－1，y〞＝λ(λ－1)x^λ－2，代人方程x²y〞＋6 xyˊ＋4y＝0中，左边＝x²(λ－1)λx^λ－2＋6x×λx^λ－1＋4x^λ＝(λ²－λ＋6λ＋4)x^λ=(λ²＋5λ＋4)x^λ＝0，解得λ₁＝－1，λ²＝－4，所以方程形如y＝x^λ的解有：y₁＝x^－λ，y₂＝x^－4．

解析

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考研数学三

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