设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中a1，a2，…，an为常数，且对一切x有|f(x)|≤|ex-1|.证明：|a1+2a2+…+nan|≤1.

admin2022-08-19 110

问题设f(x)=a₁ln(1+x)+a₂ln(1+2x)+…+a_nln(1+nx)，其中a₁，a₂，…，a_n为常数，且对一切x有|f(x)|≤|e^x-1|.证明：|a₁+2a₂+…+na_n|≤1.

选项

答案当x≠0时，由|f(x)|≤|e^x-1|得|[f(x)]/x|≤|(e^x-1)/x|, [*]{a₁[ln(1+x)]/x+a₂[ln(1+2x)]/x+…+a_n[ln(1+nx)]/x} =a₁+2a₂+…+na_n， [*]根据极限保号性得|a₁+2a₂+…+na_n|≤1.

解析

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考研数学三

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