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证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
admin
2016-05-09
93
问题
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,即A与单位阵E合同.
选项
答案
必要性:因为对称阵A为正定的,所以存在正交矩阵P使P
T
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=∧,即A=P∧P
T
,其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的全部特征值,A是正定矩阵,λ
1
,λ
2
,…,λ
n
均为正数.令∧
1
diag[*],则∧=∧
1
∧
1
,∧=P∧
1
∧
1
T
P
T
. 再令U=∧
1
T
P
T
,则U可逆,且A=U
T
U故A与单位矩阵合同. 充分性:若存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,则对任意的χ∈R
n
且χ≠0,有‖Uχ‖>0,即 f(χ)=χ
T
Aχ=χ
T
U
T
Uχ=‖Uχ‖
2
>0,矩阵A是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/2gw4777K
0
考研数学一
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