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  3. 证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

admin2016-05-09  95
问题 证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．
选项
答案必要性：因为对称阵A为正定的，所以存在正交矩阵P使PTAP＝diag(λ1，λ2，…，λn)＝∧，即A＝P∧PT，其中λ1，λ2，…，λn为A的全部特征值，A是正定矩阵，λ1，λ2，…，λn均为正数．令∧1diag[*]，则∧＝∧1∧1，∧＝P∧1∧1TPT． 再令U＝∧1TPT，则U可逆，且A＝UTU故A与单位矩阵合同． 充分性：若存在可逆矩阵U，使A＝UTU，则对任意的χ∈Rn且χ≠0，有‖Uχ‖＞0，即 f(χ)＝χTAχ＝χTUTUχ＝‖Uχ‖2＞0，矩阵A是正定矩阵．
解析
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考研数学一

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