A是二阶矩阵，有特征值λ1=1，λ2=2，f(x)=x2一3x+4，则f(A)=________．

admin2014-10-08 79

问题 A是二阶矩阵，有特征值λ₁=1，λ₂=2，f(x)=x²一3x+4，则f(A)=________．

选项

答案2E

解析利用矩阵A的相似对角阵．由题设条件A是二阶矩阵，有两个不同的特征值，故A～A，即存在可逆阵P，使得P^-1AP=A，A=PAP^-1，其中

且f(x)=x²一3x+4=(x一1)(x一2)+2．f(A)=(A—E)(A一2E)+2E=(PA^-1一PP^-1)(PA^-1一2PP^-1)+2E

或直接计算f(A)=A²一3A+4E=(PAP^-1)²一3PAP^-1+4PP^-1=PA²P^-1—3PA^-1+4PP^-1一P(A²一3A+4E)P^-1

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考研数学二

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