2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．

admin2018-08-12  53
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．
选项
答案xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn-xn-1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1-xn，与xn-xn-1同号，故{xn}单调． ｜xn｜=｜f(xn-1)｜=｜f(x1)+∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+｜∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+∫-∞+∞[*]dx=｜f(x1)｜+πk， 即{xn}有界，于是[*]xn存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得[*]xn=f([*]xn)，原命题得证．
解析
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考研数学二

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