已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2016-04-11 82

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
(I)求实数a的值；
(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(I) 因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)[*] =(λ一2)(λ²一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ=2，由求方程组(2E—A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)^T；对于λ₂=6，由求方程组(6E一A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₂=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₃=0的一个单位特征向量[*](1，1，一1)^T．令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y₁²+6y₂²．

解析

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考研数学一

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已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

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