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已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (I)求实数a的值; (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (I)求实数a的值; (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
admin
2016-04-11
83
问题
已知A=
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2.
(I)求实数a的值;
(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形.
选项
答案
(I) 因为r(A
T
A)=r(A),对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时,r(A)=2,所以a=一1. (Ⅱ)[*] =(λ一2)(λ
2
一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A
T
A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0. 对于λ=2,由求方程组(2E—A
T
A)x=0的一个非零解, 可得属于λ
1
=2的一个单位特征向量[*](1,一1,0)
T
; 对于λ
2
=6,由求方程组(6E一A
T
A)x=0的一个非零解, 可得属于λ
2
=6的一个单位特征向量[*](1,1,2)
T
; 对于λ
3
=0,由求方程组(A
T
A)x=0的一个非零解, 可得属于λ
3
=0的一个单位特征向量[*](1,1,一1)
T
. 令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y
1
2
+6y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/28w4777K
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考研数学一
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