设y＝y(x)是y’’－6y’＋9y＝e3x满足y(0)＝0，y’(0)＝0的解，求y(x)及y(x)的单调区间和极值

admin2022-06-09 75

问题设y＝y(x)是y’’－6y’＋9y＝e^3x满足y(0)＝0，y’(0)＝0的解，求y(x)及y(x)的单调区间和极值

选项

答案特征方程为r²－6r＋9＝0，解得r₁＝r₂＝3，故令特解y^*＝Ax²e^3x，代入原微分方程，得A＝1/2，故通解为 y＝C₁e^3x＋C₂xe^3x＋1/2x²e^3x，代由y(0)＝0，y’(0)＝0，得，C₁＝C₂＝0，故y(x)＝1/2x²e^3x 由y’(x)＝e^3x(x＋3/2x²)＝0，得x＝0，x＝－2/3 当x＜－2/3时，y’(x)＞0；当－2/3＜x＜0时，y’(x)＜0；当x＞0时，y’(x)＞0 故y(x)在(－∞，－2/3)和(0，＋∞)内单调增加，在(-2/3，0)内单调减少，极大值为y(－2/3)＝2/9e^-2，极小值为y(0)＝0

解析

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