已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=，(ATA)x的秩为2．

admin2017-04-24 46

问题已经知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=，(A^TA)x的秩为2．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ) 由于a=一1，所以A^TA=[*] 矩阵A^TA的特征多项式为 [*] 于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ₁=2，由求方程组(2E一A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)；对于λ₂=6，由求方程组(6E一A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₂=6的一个单位特征向量[*] (1，1，2)^T；对于λ₃=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₃=0的一个单位特征向量[*](1，1，一1)^T．令矩阵 [*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y₁²+6y₁²．

解析

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考研数学二

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