已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中求k的值与矩阵A．

admin2016-01-11 94

问题已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中

求k的值与矩阵A．

选项

答案由题设AB=C可知A(1，2，1)^T=0，从而λ₁=0为A的特征值，α₁=(1，2，1)^T为相应的特征向量；又A(1，k，1)^T=(一12，一12k，一12)^T=一12(1，k，1)^T，由此可知λ₂=一12为矩阵A的特征值，α₂=(1，k，1)^T为相应的特征向量，因为λ₁+λ₂+λ₃=trA=一6，所以λ₃=6．又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有α₁^Tα₂=0，即(1，2，1)(1，k，1)^T=0，解得k=一1．设A的属于λ₃=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则显然α₁^Tα₃=0，α₂^Tα₃=0，即得到方程组： [*]求得基础解系α₃=(一1，0，1)^T，即为A的属于λ₃=6的特征向量．由Aα₁=0α₁，Aα₂=一12α₂，Aα₃=6α₃，得A(α₁,α₂,α₃)=(0，一12α₂，6α₃)，即[*] 故[*]

解析本题考查相似对角化的逆问题．用特征值与特征向量的定义Ax=λx，求特征值与特征向量．即若Ax=0有非零解x₀．知0是A的特征值，x₀是A的关于0特征值对应的特征向量，若Ax=λx，则λ是A的特征值，非零列向量x是A的关于特征值A的特征向量．还可用λ₁+λ₂+λ₃=trA求特征值．

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考研数学二

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