首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
admin
2014-01-26
111
问题
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
(1)根据t时刻液面的面积,写出t与ψ(y)之间的关系式;
(2)求曲线x=ψ(y)的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分)
选项
答案
(1)设在t时刻。液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为πψ
2
(y)=4π+πt,从而t=ψ
2
(y)-4. (2)液面的高度为y时,液体的体积为π∫
0
y
ψ
2
(u)du=3t=3ψ
2
(y)-12. 上式两边对y求导,得 πψ
2
(y)=6ψ(y)ψ’(y),即 πψ(y)=6qψ’(y). 解此方程,得 [*],其中C为任意常数, 由ψ(0)=2知C=2, 故所求曲线方程为 [*].
解析
[分析] 液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大,因此t时刻液面面积应为2
2
π+πt,而液面为圆,其面积可直接计算出来,由此可导出t与ψ(y)之间的关系式;又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算,已知t时刻的液体体积为3t,它们之间也可建立积分关系式,求导后转化为微分方程求解即可.
[评注] 作为应用题,本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/6m34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(2002年)(1)验证函数满足微分方程y’’+y’+y=ex(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()
(06年)设函数f(χ)在χ=0处连续,且=1,则
(04年)函数f(χ)=在下列哪个区间内有界:【】
(2003年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3)使f’(ξ)=0.
已知方程=k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围.
(87年)假设D是矩阵A的r,阶子式,且D≠0,但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0.
(90年)若线性方程组有解,则常数α1,α2,α3,α4应满足条件_______.
设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解,求a的值及所有公共解。
A、 B、 C、 D、 [*]有条件概率密度的结果可以看出,在Y=y的条件下X的条件分布也是均匀分布。
随机试题
《中国人民解放军文职干部条例》颁发于()
现在市场上流行一种“笔”,用户通过在书写板上使用“笔”书写或绘画,计算机获得相应的信息。它是一种()
急性化脓性骨髓炎是指下列哪些组织的化脓性炎症
与企业的超额获利能力密切相关的无形资产是()。
依法终止的外商投资企业,属于外方投资者所有的人民币,只能留在境内使用,不能购汇汇出。()
维护企业利益与保护社会环境的关系,正确的观点是()。
某社会工作者通过问卷来了解社会工作者的职业流动情况。其中设计了一道封闭式问题:“您在本机构工作了多长时间?①1年以下;②2~4年;③5年以上。”关于这道问题答案设计的说法,正确的是()。
有一个大家庭,父母共养有7个子女,从大到小分别是ABCDEFG,这7个孩子的情况是这样的:(1)A有3个妹妹;(2)B有一个哥哥;(3)C是老三,她有2个妹妹;(4)E有2个弟弟。从上述情况可以得出,这7个孩子的性别分别是:
【B1】【B4】
Australia’snewPrimeMinisterKevinRuddhasopposed
最新回复
(
0
)