2. 考研
  3. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

admin2014-01-26  111
问题 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

    (1)根据t时刻液面的面积，写出t与ψ(y)之间的关系式；
    (2)求曲线x＝ψ(y)的方程．
    (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分)
选项
答案(1)设在t时刻。液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πψ2(y)＝4π＋πt，从而t＝ψ2(y)－4． (2)液面的高度为y时，液体的体积为π∫0yψ2(u)du＝3t＝3ψ2(y)－12． 上式两边对y求导，得 πψ2(y)＝6ψ(y)ψ’(y)，即 πψ(y)＝6qψ’(y)． 解此方程，得 [*]，其中C为任意常数， 由ψ(0)＝2知C＝2， 故所求曲线方程为 [*]．
解析 [分析]  液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为22π＋πt，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与ψ(y)之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．
    [评注]  作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解．  
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考研数学二

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