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  3. 设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．

设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．

admin2021-11-09  82
问题 设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．
选项
答案A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααT.ααT，因为α为单位列向量，所以αTα=1，于是A2=A．由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因为E-A=ααT≠0，所以r(E-A)=r(ααT)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．
解析
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考研数学二

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