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  3. 设f(x)在(-∞，+∞)内连续且严格单调递增，f(0)=0．常数n为正奇数，并设F(x)=∫0xtnf(t)dt，则下列结论判断正确的是( )．

设f(x)在(-∞，+∞)内连续且严格单调递增，f(0)=0．常数n为正奇数，并设F(x)=∫0xtnf(t)dt，则下列结论判断正确的是( )．

admin2022-06-04  50
问题 设f(x)在(-∞，+∞)内连续且严格单调递增，f(0)=0．常数n为正奇数，并设F(x)=∫0xtnf(t)dt，则下列结论判断正确的是(          )．
选项 A、F(x)在(-∞，0)内严格单调递增，在(0，+∞)内严格单调递增
B、F(x)在(-∞，0)内严格单调递增，在(0，+∞)内严格单调递减
C、F(x)在(-∞，0)内严格单调递减，在(0，+∞)内严格单调递增
D、F(x)在(-∞，0)内严格单调递减，在(0，+∞)内严格单调递减
答案C
解析 F’(x)=，其中ξ介于0与x之间．
    当x＞0时，0＜ξ＜x，于是0＜ξn＜xn．
    因为f(x)严格单调递增，有0＜f(ξ)＜f(x)，于是0＜ξnf(ξ)＜xnf(x)，故
    当x＞0时，F’(x)＞0，F(x)严格单调递增；
    当x＜0时，则x＜ξ＜0，于是xn＜ξn＜0，因为f(x)严格单调递增，有f(x)＜f(ξ)＜0，于是xnf(x)＞ξnf(ξ)＞0，故当x＜0时，F’(x)＜0，F(x)严格单调递减．
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