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(2011年)(I)证明：对任意的正整数n，都有成立； (Ⅱ)设证明数列{an}收敛。

admin2021-01-15  22
问题 (2011年)(I)证明：对任意的正整数n，都有成立；
    (Ⅱ)设证明数列{an}收敛。
选项
答案(I)方法一：将式中的[*]看成x，不等式就变成了[*] 令f(x)=x一ln(1+x)，由于x＞0时，[*]可知f(x)在[0，+∞)上单调递增。又由于f(0)=0，可知x＞0时，f(x)＞0，也即x＞ln(1+x)。 再令[*]由于x＞0时[*]可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。又由于g(0)=0，可知x＞0时，g(x)＞0，也即[*] 方法二：设f(x)=ln(1+x)，[*]显然f(x)在[*]上满足拉格朗日中值定理的条件， [*] 结论得证。 (Ⅱ)设[*] 先证数列{an)单调递减。 [*] 利用(I)的结论可以得到[*]故an+1n，即数列{an}单调递减。 再证数列{an}有下界。 [*] 得到数列{an}有下界。利用单调递减且有下界数列必收敛得到{an}收敛。
解析
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考研数学一

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