设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2018-01-23 76

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

选项

答案因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)^T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX ＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/1NX4777K

考研数学三

相关试题推荐

设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明：(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换；(2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．
向平面区域D：x≥0，0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点．求(1)该点到y轴距离的概率密度；(2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y＝4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差．
计算二重积分I＝dy．
已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中　(1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；(2)求出此二次型；(3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．
设变换把方程化为＝0，求a．
设f(x)的导数在点x＝a处连续，又＝一2，则()．
设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．
A是m×n矩阵，线性方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是()．
下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

随机试题

一求极大值线性规划问题的某步单纯形表如下表所示。该表是否为最优单纯形表?若是，请说明理由。若不是，则继续迭代直至达到其单纯形终表，并写出该问题的最优解。
论述问题认定的方法。
下列说法有误的是()。
案例九：甲企业向乙企业买了一批货物，约定由乙企业负责运送，甲企业负责对货物投保，甲企业根据约定与某保险公司签订了保险合同。根据案例九，回答下列问题：接第98题，乙企业船只与丙公司船只碰撞之后，如果甲企业就货物所受损失免除了丙企业的赔偿责任，下列说法正
直线制组织的优点是()。
一般资料：求助者，男性，15岁，高中一年级学生。案例介绍：半年前，求助者升入重点高中。两个月前，求助者因为感冒发烧，导致期中考试没有取得好成绩。一个多月前，求助者在复习功课时，头脑中突然闪念“期末考试再考不好怎么办”。这种想法让求助者非常紧张，竭力让自己
鸦片战争以后，提出“师夷长技以制夷”思想的是()。
“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”“芳林新叶催陈叶，流水前波让后波”，这两句诗蕴含的哲理是：
Therearesuperstitionsattachedtonumbers;eventhoseancientGreeksbelievedthatallnumbersandtheirmultipleshadsomemy
TheArtofPublicSpeakingIfyouweretotape-recordoneofDavidLetterman’scomedyroutines,memorizeitwordforword,a

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

考研数学三

设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明：(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换；(2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．

向平面区域D：x≥0，0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点．求(1)该点到y轴距离的概率密度；(2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y＝4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差．

计算二重积分I＝dy．

已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；(2)求出此二次型；(3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．

设变换把方程化为＝0，求a．

设f(x)的导数在点x＝a处连续，又＝一2，则()．

设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．

A是m×n矩阵，线性方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是()．

下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

一求极大值线性规划问题的某步单纯形表如下表所示。该表是否为最优单纯形表?若是，请说明理由。若不是，则继续迭代直至达到其单纯形终表，并写出该问题的最优解。

论述问题认定的方法。

下列说法有误的是()。

直线制组织的优点是()。

鸦片战争以后，提出“师夷长技以制夷”思想的是()。

“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”“芳林新叶催陈叶，流水前波让后波”，这两句诗蕴含的哲理是：

Therearesuperstitionsattachedtonumbers;eventhoseancientGreeksbelievedthatallnumbersandtheirmultipleshadsomemy

TheArtofPublicSpeakingIfyouweretotape-recordoneofDavidLetterman’scomedyroutines,memorizeitwordforword,a

已知三元二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中　(1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；(2)求出此二次型；(3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．