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求功: (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (Ⅱ)半径为尺的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
求功: (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (Ⅱ)半径为尺的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
admin
2018-06-27
87
问题
求功:
(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功?
(Ⅱ)半径为尺的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案
(Ⅰ)(微元法).以球心为原点,x轴垂直向上,建立坐标系(如图3.5). [*]取下半球中的微元薄片,即[*]取小区间[x,x+dx][*][-1,0],相应的球体小薄片,其重量(即体积)为π(1-x
2
)dx,在水中浮力与重力相符,当球从水中移出时,此薄片移动距离为(1+x),故需做功dw
1
=(1+x)π(1-x
2
)dx.因此,对下半球做的功 w
1
=∫
-1
0
π(1+x)(1-x
2
)dx. [*]取上半球中的微元薄片,即V取小区间[x,x+dx][*][0,1],相应的小薄片,其重量为π(1-x
2
)dx,当球从水中移出时,此薄片移动距离为1.所受力为重力,故需做功dw
2
=π(1-x
2
)dx.因此,对上半球做的功 w
2
=∫
0
1
π(1-x
2
)dx. 于是,对整个球做的功为 w=w
1
+w
2
=∫
-1
0
π(1+x)(1-x
2
)dx+∫
0
1
π(1-x
2
)dx =∫
-1
1
π(1-x
2
)dx+∫
-1
0
πx(1-x
2
)dx [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3.6.取x为积分变量,x∈[0,R]. [*][x,x+dx]相应的水薄层,看成圆柱体,其体积为 π(R
2
-x
2
)dx, 又比重ρ=1,于是把这层水抽出需做功dw=πx(R
2
-x
2
)dx.因此,所求的功 w=∫
0
R
πx(R
2
-x
2
)dx [*]
解析
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考研数学二
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