设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得

admin2018-05-25 62

问题设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[－a，a]，使得

选项

答案上式两边积分得∫_－a^af(x)dx=[*]∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx 因为f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[－a，a]上积分得 [*] 根据介值定理，存在ξ₁∈[－a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=[*]∫_－a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[－a，a]，使得a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即pa⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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