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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2019-07-10
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问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;
(Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,引入辅助函数φ(x)=x-f(x),则φ(x)在[0,1]上连续,由已知条件f(1)=0及f(1/2)=1,知φ(1)=1-f(1)=1>0且[*] ,所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点η∈(1/2,1),使得φ(n)=0, 即η-f(η)=0,因此存在η∈(1/2,1),使f(η)=η,证毕. (Ⅱ)引入辅助函数,由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x, 有f
’
(x)-λ[f(x)-x]=1,即f
’
(x)-λf(x)=1-λx. 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得: 所以[f(x)-x]e
-λx
=C,至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e
-λx
=-φ(x)e
-λx
, 由已知条件及(I)中结论,知g(x)也是连续函数, 且g(0)=[f(0)-0]e
0
=0,g(η)=-φ(η)e
-λη
=0. 由罗尔定理知存在一点ξ(0,η),使得g
’
(ξ)=0, 又g
’
(x)=-λe
-λx
[f(x)-x]+e
-λx
[f
’
(x)-1], 所以-λ[f(ξ)-ξ]+f
’
(ξ)-1=0 此即f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.证毕.
解析
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考研数学二
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