2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明： 存在ζ∈(0，1)，使得ζf"(ζ)＋(1＋ζ)f’(ζ)＝1＋ζ．

设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明： 存在ζ∈(0，1)，使得ζf"(ζ)＋(1＋ζ)f’(ζ)＝1＋ζ．

admin2021-04-07  106
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明：
存在ζ∈(0，1)，使得ζf"(ζ)＋(1＋ζ)f’(ζ)＝1＋ζ．
选项
答案作辅助函数F(x)＝xex[f’(x)－1]， 显然F(0)－F(x0)＝0，F(x)在(0，1)上可导，且 F"(x)＝(1＋x)ex[f’(x)－1]＋xexf"(x)， 根据罗尔定理，存在ξ∈(0，x0)，使得F’(ξ)＝0，即 f"(ξ)＋(1＋ξ)f’(ξ)＝1＋ξ。
解析
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考研数学二

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