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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2019-12-26
69
问题
设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，对应的特征向量依次为α
1
，α
2
，α
3
，令β=α
1
+α
2
+α
3
，证明：β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，3)，则 Aβ=A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
， A
2
β=A(Aβ)=A(λ
1
α
1
+λ
1
α
2
+λ
3
α
3
)=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
． 设存在常数k
1
，k
1
，k
3
，使 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0， 进而得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0． 由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，于是有 [*] 其系数行列式 [*] 故k
1
=k
2
=k
3
=0，所以，β，Aβ，A
2
β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/zUD4777K
0
考研数学三
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