设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是r阶单位矩阵．

admin2021-07-27 89

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：

其中E_r是r阶单位矩阵．

选项

答案由A²=A，知A的特征值的取值为1，0，由A-A²=A(E-A)=0知r(A)+r(E-A)≤n，r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，故，r(A)+r(E-A)=n，又r(A)=r，从而r(E-A)=n-r．对A=1，(E-A)x=0，因r(E-A)=n-r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r；对λ=0，(0E-A)x=0，即Ax=0，因，r(A)=r，故有n-r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ，…，ξ_n．故存在可逆矩阵P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，使得[*]

解析

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