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设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是r阶单位矩阵.
设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是r阶单位矩阵.
admin
2021-07-27
72
问题
设A是n阶矩阵,满足A
2
=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:
其中E
r
是r阶单位矩阵.
选项
答案
由A
2
=A,知A的特征值的取值为1,0,由A-A
2
=A(E-A)=0知r(A)+r(E-A)≤n,r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n,故,r(A)+r(E-A)=n,又r(A)=r,从而r(E-A)=n-r.对A=1,(E-A)x=0,因r(E-A)=n-r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
;对λ=0,(0E-A)x=0,即Ax=0,因,r(A)=r,故有n-r个线性无关特征向量,设为ξ
r+1
,ξ
,…,ξ
n
.故存在可逆矩阵P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
],使得[*]
解析
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考研数学二
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