2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋x22＋3x32－2x12＋8x13经过可逆线性变换X＝PY化为g(y1，y2，y3)＝y12＋5y22－3y32－4y1y2＋2y2y3，求矩阵P．

设二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋x22＋3x32－2x12＋8x13经过可逆线性变换X＝PY化为g(y1，y2，y3)＝y12＋5y22－3y32－4y1y2＋2y2y3，求矩阵P．

admin2022-10-09  57
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋x22＋3x32－2x12＋8x13经过可逆线性变换X＝PY化为g(y1，y2，y3)＝y12＋5y22－3y32－4y1y2＋2y2y3，求矩阵P．
选项
答案令A＝[*]，X＝[*]，则f＝XTAX， 配方得f(x1，x2，x3)＝(x1－x2)2＋[2(x1＋x3)]2－x32， 令[*]，即[*]或X＝P1U， 其中P1＝[*]，且P1可逆， 于是f＝XTAX[*]u12＋u22－u32，即P1TAP1＝[*] 令B＝[*]，则g＝YTBY， 配方得g(y1，y2，y3)＝(y1－2y2)2＋(y2＋y3)2－(2y3)2， 令[*]，或[*]即Y＝P2U， 其中P2＝[*]且P2可逆，即P2TBP2＝[*] 由P1TAP1＝P2TBP2得(P2－1)TP1TAP1P2－1＝B，或B＝(P1P2－1)TA(P1P2－1)． 所求的可逆矩阵 P＝P1P2－1＝[*]
解析
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考研数学二

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