设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x．若f((0)=0,f’(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2022-09-08 57

问题设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcos y)满足

=(4z+e^xcos y)e^2x．若f((0)=0,f’(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案由z=f(e^xcos y)得[*]=f’(e^xcos y)·(-e^xsin y)，　　[*]=f”(e^xcos y)·e^xcos y·e^xcos y+f’(e^xcos y)·e^xcos y 　　=f”(e^xcos y)·e^2xcos²y+f’(e^xcos y)·e^xcos y，　　[*]=f”(e^xcos y)·(-e^xsin y)·(-e^xsin y)+f’(e^xcos y)·(-e^xcos y)=f”(e^xcos y)·e^2xsin²y-f’(e^2xcos y)·e^2xcos y．　　由[*]=(4z+e^xcos y)e^2x，代入得　　 f”(e^xcos y)·e^2x=[4f(e^xcos y)+e^xcos y]e^2x，　　即 f”(e^xcos y)-4f(e^xcos y)=e^xcos y，　　令e^xcos y=u，得f”(u)-4f(u)=u．　　特征方程为λ²-4=0，解得λ=±2，得齐次方程通解[*]=C₁ e^2u+C₂e^-2u. 　　设特解y^*=au+b，代入方程得a=-1/4，b=0，得特解y^*=[*]。　　则原方程通解为y=f(u)=C₁e^2u+C₂e^-2u-[*]。　　由f(0)=0,f’(0)=0，得C₁=1/16，C₂=-1/16，则　　[*]。

解析

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考研数学一

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