计算二重积分I=sin(x2+y2)dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤π}．

admin2017-10-19 102

问题计算二重积分I=

sin(x²+y²)dxdy，其中积分区域D={(x，y)｜x²+y²≤π}．

选项

答案作极坐标变换，x=rcosθ，y=rsinθ，则 I=e^π[*]sinr²dr．令t=r²，则I=πe^π∫₀^πe^—tsintdt．再令I e^—tsintdt=A，则 A=一∫₀^πsintd(e^—t) =一(e^—tsint｜₀^π一∫₀^πe^—tcostdt) =一∫₀^πcostd(e^—t) =一(e^—tcost｜₀^π+∫₀^πe^—tsintdt) =e^—π+1一A．因此，A=[*](1+e^π)．

解析因为被积函数f(x，y)含有x²+y²，且积分区域D为圆，应选用极坐标系计算二重积分．

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