设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

admin2018-05-25 82

问题设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明：
(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

选项

答案(Ⅰ)F(一x)=∫₀^-x(2t+x)f(t)dt[*]一∫₀^x(一2u+x)f(一u)du，若f(x)是偶函数，则有f(一x)=f(x)。故上式=∫₀^x(2u一x)f(u)du=F(x)，即F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数，则需证F’(x)＜0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。由已知 F(x)=2∫₀^xtf(t)dt一x∫₀^xf(t)dt，则 F’(x)=2xf(x)一∫₀^xf(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫₀^xf(t)dt =∫₀^xf(x)dt—∫₀^xf(t)dt=∫₀^x[f(x)一f(t)]dx。因f(x)是单调减函数，t介于0与x之间，所以当x＞0时，f(x)一f(t)＜0，故F’(x)＜0；当 x＜0时，f(x)一f(t)＞0，故F’(x)＜0；当x=0时，F’(0)=0。即x∈(一∞，+∞)时，F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立，因此F(x)也是单调减函数。

解析

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设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，且F(x)=r(2t一x)f(t)dt，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

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