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对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 求出使g(x)取最小值的x值。
对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 求出使g(x)取最小值的x值。
admin
2022-10-08
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问题
对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数
g(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a]
求出使g(x)取最小值的x值。
选项
答案
g’(x)=0,则 ∫
-a
x
f(t)dt+∫
a
x
f(t)dt=0 设t=-u,dt=-du,并注意到f(-t)=f(t),有 ∫
-a
x
f(t)dt=-∫
a
x
f(-u)du=∫
-x
a
f(-t)dt=∫
-x
a
f(t)dt 因而 ∫
-a
x
f(t)dt+∫
a
x
f(t)dt=∫
-x
a
f(t)dt+∫
a
x
f(t)dt=∫
-x
x
f(t)dt=0 即2∫
0
x
f(t)dt=0 又因f(t)>0,故x=0,由①式可得,g"(x)|
x=0
=2f(x)|
x=0
>0,故 g(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt 为最小值。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/yYR4777K
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考研数学三
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