2. 考研
  3. 设f(x)在(﹣∞，﹢∞)连续， 且F(x)＝， 证明： (Ⅰ)F(x)在(﹣∞，﹢∞)内具有连续的导数； (Ⅱ)若f(x)在(﹣∞，﹢∞)内单调递增，则F(x)在(﹣∞，0]内单调递增，在(0，﹢∞)内单调递减。

设f(x)在(﹣∞，﹢∞)连续， 且F(x)＝， 证明： (Ⅰ)F(x)在(﹣∞，﹢∞)内具有连续的导数； (Ⅱ)若f(x)在(﹣∞，﹢∞)内单调递增，则F(x)在(﹣∞，0]内单调递增，在(0，﹢∞)内单调递减。

admin2019-12-06  91
问题 设f(x)在(﹣∞，﹢∞)连续，
且F(x)＝，
证明：
(Ⅰ)F(x)在(﹣∞，﹢∞)内具有连续的导数；
(Ⅱ)若f(x)在(﹣∞，﹢∞)内单调递增，则F(x)在(﹣∞，0]内单调递增，在(0，﹢∞)内单调递减。
选项
答案(Ⅰ)当x≠0时，对F(x)求导可得 [*] 当x＝0时， [*] 综上可得 [*] 所以F(x)在(﹣∞，﹢∞)内具有连续的导数。 (Ⅱ)[*]， 令g(x)＝﹣x2f(x)＋2∫0xtf(t)dt， g’(x)＝﹣x2f’(x)，已知f(x)在(﹣∞，﹢∞)内单调递增，则f’(x)﹥0，g’(x)﹤0。当x∈(﹣∞，0]，可得g(0)＝0﹤g(x)，所以F’(x)﹥0，即F(x)在(﹣∞，0]内单调递增。当x∈(0，﹢∞)，可得g(0)＝0﹥g(x)，所以F’(x)﹤0，则F(x)在(0，﹢∞)内单调递减。
解析
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考研数学二

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