已知3阶矩阵B≠O，且B的每一个列向量都是以下方程组的解． (1)求λ的值． (2)证明|B|=0．

admin2020-09-29 46

问题已知3阶矩阵B≠O，且B的每一个列向量都是以下方程组的解．

(1)求λ的值．
(2)证明|B|=0．

选项

答案(1)因为B≠O，故B中至少有一列是非零向量，依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故必有系数行列式|A|=[*]=5(λ一1)=0，由此可得λ=1． (2)设B的列向量为β₁，β₂，β₃，由题意Aβ₁=0，Aβ₂=0，Aβ₃=0，则AB=A(β₁，β₂，β₃)=O．因为A≠O，故必有|B|=0．倘若不然，设|B|≠0，则B可逆，则由AB=O有A=O，这与已知A≠O相矛盾，故|B|=0．

解析

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考研数学一

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