设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )。

admin2013-08-29 80

问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )。

选项 A、πa²
B、

C、

D、5πa²

答案B

解析该三棱柱为直三棱柱，设为ABC－A₁B₁C₁，各顶点都在同一球面上，则球心O在面ABC上的投影即为正三角形ABC三边中垂线的交点D，易求得

，球心O到面ABC的距离为

，OD与AD、球半径OA组成直角三角形，求得OA²＝

π²，所以球的面积为S＝4πR²＝

。

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