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  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求∫12f(x)dx．

设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求∫12f(x)dx．

admin2018-01-23  58
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求∫12f(x)dx．
选项
答案[*]
解析 由∫0xtf(2x－t)dt(2x－u)f(u)(－du)
＝∫x2x(2x—u)f(u)du＝2x∫x2xf(u)du－∫xxuf(u)du
得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du＝arctanx2，等式两边对x求导得
2∫x2xf(u)dx＋2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)＋xf(x)＝，整理得
2∫x2xf(u)du－xf(x)＝，
取x＝1得2∫12f(u)－f(1)＝，故∫12duf(x)dx＝．
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考研数学三

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