2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。 设x0∈(0，1)，xn+1=F(xn)(n=0，1，2，…)，证明：

设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。 设x0∈(0，1)，xn+1=F(xn)(n=0，1，2，…)，证明：

admin2021-12-14  79
问题 设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。
设x0∈(0，1)，xn+1=F(xn)(n=0，1，2，…)，证明：
选项
答案由已知，xn+1=F(xn)=1/2[xn+f(xn)]，当n≥1时，有xn+1-xn=F(xn)-F(xn-1)=F’(ξn)(xn-xn-1)，其中ξn介于xn与xn-1之间，又因为F’(ξn)=1/2[1+f’(ξn)]＞0，所以xn+1-xn与xn-xn-1同号，故{xn}单调。由已知，0＜x0＜1，利用归纳法，设0＜xn＜1，则0＜xn+1=F(xn)=1/2[xn+f(xn)]＜1，故{xn}有界，由单调有界准则，可知[*]存在。令[*]=a，则a=F(a)，a=ξ，故[*]=ξ。
解析
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考研数学二

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