设n维向量α1，α2，α3满足α1一2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件( )

admin2016-04-14 83

问题设n维向量α₁，α₂，α₃满足α₁一2α₂+3α₃=0，对任意的n维向量β，向量组α₁+αβ，α₂+bβ，α₃线性相关，则参数a，b应满足条件( )

选项 A、a=b．
B、a=－b．
C、a=2b．
D、a=－2b．

答案C

解析因α₁，α₂，α₃满足α₁+2α₂+3α₃=0，(*)
要求向量组α₁+aβ，α₂+bβ，α₃线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，取常数k₁=1，k₂=一2，k₃=3，对向量组α₁+aβ，₂+bβ，α₃作线性组合，得
(α₁+αβ)一2(α₂+bβ)+3α₃－α₁－2α₂+3α₃+(a一2b)β=(a－2b)β．
故当a=2b时，对任意的n维向量β均有
α₁+αβ～2(α₂+bβ)+3α₃=0．
即a=2b时，α₁+aβ，α₂+bβ，α₃对任意β线性相关．故应选(C)．

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