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设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
admin
2018-04-18
62
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a一1)x
3
2
+2x
1
x
3
一2x
2
x
3
。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
，求a的值。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)对应的实对称矩阵为A=[*]， ｜λE一A｜=[*] =(λ一a)[(λ—a)(λ一a+1)一1]一[0+(λ一a)] =(λ一a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)[λ
2
一2aλ+λ+a
2
一a一2] =(λ-a){λ+[*]}=(λ-a)(λ-a+2)(λ一a一1)。 则λ
1
=a，λ
2
=a一2，λ
3
=a+1。 (Ⅱ)方法一：若规范形为y
1
2
+y
2
2
，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a一2＜a＜a+1，所以a一2=0，即a=2。 方法二：由于f的规范形为y
1
2
+y
2
2
，所以A合同于[*]，其秩为2，故｜A｜=λ
1
，λ
2
，λ
3
=0，于是a=0或a=一1或a=2。当a=0时，λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=一2，此时f的规范形为y
1
2
-y
2
2
，不合题意。 当a=一1时，λ
1
=一1，λ
2
=0，λ
3
=一3，此时f的规范形为一y
1
2
-y
2
2
，不合题意。当a=2时，λ
1
=2，λ
2
=3，λ
3
=0，此时f的规范形为y
1
2
+y
2
2
。 综上可知，a=2。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/xpX4777K
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考研数学三
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