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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x12+(1+a2)x22+(3+a2)x32+2(1-a)1x3+2(1-a)x2x3的秩为2，AT=A． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求xTAx=2在正交变换x=Qy下的曲面方程；

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x12+(1+a2)x22+(3+a2)x32+2(1-a)1x3+2(1-a)x2x3的秩为2，AT=A． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求xTAx=2在正交变换x=Qy下的曲面方程；

admin2023-01-04  20
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x12+(1+a2)x22+(3+a2)x32+2(1-a)1x3+2(1-a)x2x3的秩为2，AT=A．
    (Ⅰ)求a的值；
    (Ⅱ)求xTAx=2在正交变换x=Qy下的曲面方程；
选项
答案(Ⅰ)由已知，有 [*] 又由r(A)=r(f)=2，可知 ｜A｜=(a+1)2(a2+3)=0， 解得a=-1． (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)，可知A=[*]．由 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0， 得A的特征值为λ1=0，λ2=2，λ3=6． 由(0E-A)x=0，得α1=(-1，-1，1)T． 由(2E-A)x=0，得α2=(-1，1，0)T． 由(6E-A)x=0，得α3=(1，1，2)T． 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交，故只需单位化，得 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)，则正交变换为x=Qy，标准形为2y22+6y32，故所求曲面方程为 2y22+6y32=2， 即y22+3y32=1．
解析
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考研数学一

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