设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P－1AP．

admin2019-06-25 76

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^－1AP．

选项

答案(Ⅰ)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁=－α₁，Aα₂=α₂，－k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①－②，得 2k₁α₁－k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而由③式知k₁=k₃=0，代入①式得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃] =[－α₁，α₂，α₂+α₃] [*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P^－1左乘上式两端，得 P^－1AP [*]

解析

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考研数学三

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P－1AP．

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