设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

admin2015-07-15 45

问题设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

选项

答案证明：设F(x)=f(x)g²(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)g²(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

解析

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