设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．

admin2019-11-25 76

问题设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

＝(e^a＋e^b)[f’(η)＋f(η)]．

选项

答案令φ(x)＝e^xf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得 [*]＝e^η[f’(η)＋f(η)]，再由f(a)＝f(b)＝1，得[*]＝e^η[f’(η)＋f(η)]，从而[*]＝(e^a＋e^b)e^η[f’(η)＋f(η)]，令φ(x)＝e^2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使[*]＝2e^2ξ，即2e^2ξ＝(e^a＋e^b)e^η[f’(η)＋f(η)]，或2e^2ξ－η＝(e^a＋e^b)[f’(η)＋f(η)]．

解析

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考研数学三

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